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论文导读：然而以往对于灰色背景值的选取均是采取紧邻均值生成来建模，这样不足以显示各种信息对于建模数据贡献大小。本文以加权紧邻值来建模，并且扩充权值的取值范畴，通过工程实例得出其预测效果相对较好(本文定义此模型为RGM(1,1))。对三个灰色模型预测效果进行比较。
关键词：灰色模型,背景值,变形预测,权
众所周知，变形监测是工程测量的一项重要内容。获取形变体的形变量和形变趋势是变形监测数据处理的主要目的。论文参考。灰色系统是基于部分信息确定、部分信息不确定的系统。它通过对原始数据序列进行数学建模，进而达到变形监测预报和分析的目的。然而以往对于灰色背景值的选取均是采取紧邻均值生成来建模，这样不足以显示各种信息对于建模数据贡献大小。论文参考。本文以加权紧邻值来建模，并且扩充权值的取值范畴，通过工程实例得出其预测效果相对较好(本文定义此模型为RGM(1,1))。
1.RGM(1,1)模型基本思想
灰色理论的基本微分方程模型为灰色模型即GM(1,1)。模型对于背景值的选取为 与 的平均值即：
即认为在紧邻值之间取其均值，然而这种取法很难反映新、旧信息对于建模数据 贡献大小，在一定程度上有很大弊端。本文从预测精度出发，提出一种新的背景值取值方法，即取 与的加权值。即取为
其中p、q为背景值生成系数(也叫做权)，然后从预测和模拟精度出发，确定各个参数的最佳估值，进行模型的精度分析与预测。
其中最佳权的确定方法：分别取p=0.01、q=0.01双双按照0.01递增，直到取值为0.99结束，分别建立以p、q为圆心的搜索区域，并依次求出对应p、q状态下的平均模拟相对误差，取其中最小的平均模拟相对误差对应的权值建立模型进行模拟和预测分析(当然p、q递增值也可以按0.001或者其他更小单位值)。
2.RGM(1,1)模型的建模步骤
对于原始的数据序列
做一次累加生成(1-AGO)，得到生成序列
 
其中 ，GM(1,1)模型基本形式的白化方程为
式中 , 两个参数为待识别参数即灰参数，其白化值为 ,而上述白化方程的时间响应函数
为确定两个灰参数，需要利用紧邻值生成序列
在这里选择
而依照灰理论有
灰色参数计算式即为
求得参数后代入直接带入还原值函数
便可以求得模拟值。其中需要注意
然后作总相对误差的最小化检验。即
比较后选取获得最小平均相对误差情况下的权值和灰参数值作为建模最终之用。
3. 算例解析
本文以某大坝边坡变形监测线上的一变形点(设为A点)监测资料和链子崖危岩体某监测点(设为B点)1985年～1993年5月的变形值为例(数据取自文献[2]和文献[3])，分别取前七次变形值建立模型。论文参考。对三个灰色模型预测效果进行比较。并预测第8、9次的变形值。
根据A点已知数据建立模型如下：
在A点GM(1,1)预测模型：
 | 在A点PGM(1,1)预测模型：
在A点RGM(1,1)预测模型:
表1 A点三种预测模型对照表
| 值类型 |
序列号 |
原始值 |
GM(1,1) |
|
PGM(1,1) |
|
RGM(1,1) |
 |
m/% |
|
m/% |
|
m/% |
| 模拟值 |
1 |
1.285 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 |
1.647 |
1.63809 |
0.54095 |
1.63809 |
0.54095 |
1.6474 |
0.24 |
| 3 |
2.119 |
2.10106 |
0.84679 |
2.10106 |
0.84679 |
2.1156 |
0.16 |
| 4 |
2.716 |
2.69487 |
0.77804 |
2.69487 |
0.77804 |
2.7169 |
0.033 |
| 5 |
3.494 |
3.45651 |
1.07308 |
3.45651 |
1.07308 |
3.4891 |
0.14 |
| 6 |
4.477 |
4.43340 |
0.97380 |
4.43340 |
0.97380 |
4.4807 |
0.08 |
| 7 |
5.760 |
5.68639 |
1.27787 |
5.68639 |
1.27787 |
5.7543 |
0.099 |
| 预测值 |
8 9 |
7.382 9.497 |
7.29351 9.35485 |
1.19867 1.49683 |
|
7.29351 9.35485 |
1.19867 1.49683 |
7.3898 9.4901 |
0.11 0.07 |
1992年实际沉降A点为7.382毫米，用RGM(1,1)模型预测值为7.3898毫米，这个效果已经相当满意，1993年的情况也是一样。由此可以得出RGM(1,1)不论是预测还是模拟都比前两种模型的精度要高。但是由于上述沉降数据变化趋势一致，所以得出了比较好的预测和模拟效果；为了推证其广泛性，我们现在选取一组波动较大的数据进行进一步的检验，并分析其规律.
利用链子崖危岩体某监测点(B点)1985-1993年5月的变形值为建模数据，得出：
在B点GM(1,1)预测模型:
在B点PGM(1,1)预测模型:
在B点RGM(1,1)预测模型:
根据以上模型得出其预测值对应下表所示：
表2 B点三种预测模型对照表
| 值类型 |
序列号 |
原始值 |
GM(1,1) |
|
PGM(1,1) |
|
RGM(1,1) |
|
m/% |
|
m/% |
|
m/% |
| 模拟值 |
1 |
10.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 |
15.9 |
15.58684 |
1.96596 |
15.59163 |
1.93944 |
15.894 |
0.03773 |
| 3 |
15.4 |
16.74807 |
8.75370 |
16.74303 |
8.72098 |
16.961 |
10.14 |
| 4 |
18.1 |
17.99581 |
0.57561 |
17.97946 |
0.66596 |
18.1 |
0 |
| 5 |
21.3 |
19.33652 |
9.21823 |
19.30720 |
9.35587 |
19.315 |
9.32 |
| 6 |
20.1 |
20.77710 |
3.36867 |
20.73289 |
3.14918 |
20.612 |
2.55 |
| 7 |
22.0 |
22.32501 |
1.47733 |
22.26406 |
1.20029 |
21.996 |
0.01818 |
| 预测值 |
8 |
22.6 |
23.98824 |
6.14267 |
|
23.90821 |
5.78873 |
23.473 |
3.86 |
| 9 |
21.4 |
25.77538 |
20.44573 |
25.67377 |
19.97088 |
25.049 |
17.05 |
从此表可以得出，即使在原始数据序列变化趋势不一致的情况下，利用RGM(1,1)也得出了相比GM(1,1)和PGM(1,1)两模型较好的效果。
4. 结论
变形监测中，往往已知前若干期的观测成果，用此灰色模型便可以预测出近期的变形趋势或者变形值。而不需要收集大量的数据信息，这样可以很方便的为生产实践服务。由于RGM(1,1)模型改进了对背景值的选取法则，更客观的反应了原始数据列对于建模数据列的贡献大小，因此在预测和模拟精度上都比GM(1,1)模型和PGM(1,1)模型要高，而且操作方便，计算机编程算法简单，更符合生产实践的要求。
参考文献：
[1] 刘思峰，郭天榜．灰色系统理论及其应用[M]．北京：科学出版社．1999
[2] 李大军，赖志坤等．PGM(1,1)模型在变形检测中的应用[J]．武汉大学测绘学院学报2002,19(2):92-95
[3] 赖志坤，王新洲．PGM(1,1)预测模型及其参数估计[J]．测绘通报，2003(11):14-16
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